Cálculos en los márgenes del periódico

Recientemente se han plantado 7 millones de bulbos de flores en el Keukenhof. En muchos lugares hay tres bulbos plantados muy juntos en la tierra. Esos bulbos florecen en diferentes momentos, por lo que el parterre está siempre lleno y el jardín es bonito. Los bulbos de flores que florecen en primavera se cosechan tras el crecimiento (alrededor de junio), se secan y se almacenan. En octubre o noviembre se vuelven a plantar. Si quieres almacenar 7 millones de bulbos, ¿qué espacio necesitas: una caja, un aula, el edificio de la escuela, un granero del tamaño de un campo de fútbol?

Apilar cajas es más fácil que apilar bulbos. Es probable que algunos alumnos empiecen a apilar cajas pequeñas. Entonces deben pensar en qué ocurre si se aumentan las dimensiones de las cajas en longitud, anchura y altura; digamos que se colocan diez veces más cajas en longitud, anchura y altura. El número de cajas se multiplica entonces por 1000.

Siete espacios de 100 por 100 por 100 bulbos ya son 7 millones de bulbos. Si un bulbo medio tiene un diámetro de 5 cm, entonces se necesitan 7 espacios de 5 por 5 por 5 metros. Un aula suele medir 7 por 7 metros y, digamos, 2,5 metros de altura. Eso equivale aproximadamente al mismo volumen que un espacio de 5 por 5 por 5. Así que con 7 aulas llenas es más o menos suficiente. Eso sí, hay que llenar cada aula hasta los topes.

Otros grupos de alumnos probablemente lo abordarán de otra manera. Es posible que hayan visto cajas con 10 o 100 bulbos en un centro de jardinería y que se pongan manos a la obra con ellas. Eso no es ningún problema. Ellos también determinarán el número de cajas que caben en un aula o calcularán qué tamaño debe tener el espacio para almacenar un gran número de cajas.

Al cosecharlas, las bulbos suelen cribarse (clasificarse por tamaño). ¿Qué ocurre si el tamaño de los bulbos se duplica? La pregunta sobre el aumento volverá a surgir para todos los alumnos. ¿Se necesita ahora el doble de aulas o se necesitan muchas más? ¿Cuántas exactamente? Con un factor de aumento de 2, el volumen crecerá en un factor de 8 (2³). No lo digas, pero da a los alumnos tiempo suficiente para que lo averigüen por sí mismos.

La pregunta sobre el aumento también se plantea con la fotocopiadora. Si quiero ampliar un A4 a un A3, ¿qué debo ajustar? O si quiero reducir un A3 a un A4. ¿De dónde salen exactamente esos números?

Por supuesto, hay muchos más objetos esféricos que se clasifican por tamaño. Piensa, por ejemplo, en las cebollas y las patatas, pero también las ostras se clasifican y se denominan según su tamaño.

Webkwestie ha desarrollado una actividad sobre bulbos de flores. A continuación, los alumnos investigan cómo está formado un bulbo, cómo se planta y cómo se debe cuidar.

Un dique que rodea un embalse de aguas residuales está a punto de romperse. Se está intentando vaciar el embalse a tiempo con bombas. En la noticia, NOS Nieuws informa de que el embalse contiene más de 2000 millones de litros de agua. Se están bombeando miles de litros de agua por minuto y se necesitarán entre 10 y 12 días para vaciar el embalse.

Desplazar 2000 millones de litros de agua en 10 días. ¿Cuántos litros hay que bombear por minuto?

Con varias bombas se puede mover rápidamente una gran cantidad de agua. Una bomba pequeña puede mover hasta 60 000 litros por hora; las bombas más grandes pueden mover 3000 m^³ o más por hora. ¿Cuántas bombas se necesitan para hacerlo en 10 días?

El New York Times ofrece más información. El embalse contiene aproximadamente 400 millones de galones de aguas residuales. Cada día se escapan del embalse entre 2 y 3 millones de galones de agua. El 26 de marzo, el embalse contenía 480 millones de litros; el 3 de abril, contenía 390 millones de litros. Ahora se están bombeando 22 000 galones por minuto.

¿Son correctas las cifras que la NOS ha incluido en la noticia?

Este problema requiere hacer cálculos rápidos. Por supuesto, puedes hacerlo con una calculadora, pero también con cálculos aproximados. Si vas a hacer una aproximación, debes elegir bien las cifras. Un día tiene 24 horas, pero es más fácil calcular con 25 horas. Un día tiene 24 × 60 minutos; pero es más fácil calcular si se aproxima el número de minutos de un día a 25 × 60 minutos, es decir, unos 1.500 minutos.

Si hacemos un cálculo aproximado, este problema se parece a la pregunta de quién tiene mil millones de segundos de edad en el dibujo de abajo.

Los cumpleaños siempre son divertidos; pero en clase se pueden celebrar cumpleaños especiales y longitudes especiales. ¿Somos grandes defensores del «día del metro»? ¿Dejar que los alumnos estén atentos a cuándo miden 1 metro de altura? Ese día es difícil de predecir. Pero la fiesta de las 500 o 1000 semanas, la de los 3000 días o la de los mil millones de segundos se pueden determinar con exactitud. Deja que los alumnos hagan su propia lista de días especiales en sus vidas y elaboren juntos una lista de clase. Así podrán comprobar los cálculos de los demás. Las fiestas de las 1000 semanas de los alumnos no pueden estar muy separadas en el tiempo, y la diferencia de edad (fecha de nacimiento) indica la diferencia entre los momentos en que se puede celebrar la fiesta de las 1000 semanas. ¿Pueden idear una bonita fiesta para sus familiares?

«La policía quiere que, dentro de cinco años, el 35 % de los agentes tenga antecedentes migratorios», informan diversos medios de comunicación. El artículo de NOS Nieuws también señala que, en los próximos cinco años, al menos 17 000 de los 63 000 agentes se jubilarán. ¿Podrá la policía alcanzar realmente este objetivo del 35 % en cinco años? Es una buena pregunta para que los niños reflexionen.

Hay varias formas de enfocar esto. El 35 % de 63 000 es algo más de 22 000. Por lo tanto, eso solo sería posible si ya hubiera 5000 agentes de origen no occidental trabajando en la policía y todos los nuevos agentes contratados (17 000) tuvieran un origen no occidental. Si el 50 % de las nuevas incorporaciones tiene un origen no occidental (8.500 agentes), entonces ahora mismo debe haber al menos 13.500 agentes de origen no occidental (y que no se vayan). Así pues, en parte se trata de hacer algunas suposiciones realistas. Porque no sabemos exactamente quién se va a marchar y quién va a ser contratado. Es probable que los alumnos también se pregunten cuántos agentes de origen no occidental hay ya en servicio. Plantear buenas preguntas y aclarar tus suposiciones es muy importante.

Es posible que puedan encontrar la respuesta a esta última pregunta en Internet. El 12 de junio de 2020, el diario De Volkskrant informó de que el 7 % tiene un origen no occidental: «De los agentes de policía —desde el personal de limpieza hasta el jefe de policía— el 7 % tiene un origen migratorio no occidental, es decir, personas “con un origen migratorio en alguno de los países de África, América Latina y Asia (excluidos Indonesia y Japón) o Turquía”». Supongamos que las cifras de De Volkskrant son correctas.

El 7 % de 63 000 empleados son 4410 empleados. Si todos los agentes recién contratados tienen un origen no occidental, entonces hay un total de 21 410, es decir, algo menos del 34 %, de agentes con un origen no occidental.

Eso nunca va a funcionar. Me parece imposible contratar solo agentes de origen no occidental durante los próximos cinco años. En primer lugar, cabe preguntarse si hay tantos candidatos, pero además, discriminar de forma tan marcada en el proceso de selección probablemente suscitará una gran resistencia. Si quieren alcanzar el 35 %, tendrían que aumentar drásticamente el número de agentes.

Aquí también se puede hacer un cálculo. Para llevar el porcentaje del 7 % al 35 %, habría que contratar, como mínimo, a más del 35 % de agentes de origen no occidental. ¿Harían los alumnos este razonamiento y se lo explicarían entre ellos? Digamos que el 50 % de todos los nuevos agentes es de origen no occidental. ¿Qué tamaño tendría que alcanzar entonces la policía para alcanzar ese 35 %?

Si haces los cálculos, verás que el número de agentes de policía tendría que casi duplicarse para alcanzar ese porcentaje del 35 %. Por lo tanto, resulta ser una afirmación simpática, pero irrealizable.

Proporcione a los alumnos solo los datos y pregúnteles si la policía lo conseguirá. Deje que los alumnos decidan por sí mismos cómo van a determinarlo y cómo van a convencer a sus compañeros de clase.

El noticiario de la NOS titula: «7684 nuevos contagios, el aumento se estabiliza ligeramente». ¿Qué quieren decir con eso? ¿Ha aumentado o disminuido el número de contagios? Este tipo de titulares se utilizan habitualmente en los periódicos. En realidad, los periódicos se refieren a la primera derivada, pero la mayoría de los lectores no lo entienden en absoluto. Pida a los alumnos que elaboren un gráfico que pueda corresponder a esto y que expliquen por qué ese gráfico refleja lo que dice el periódico. Pídales también que expliquen qué es lo que aumenta y qué es lo que disminuye. En algún momento de esa conversación, los alumnos seguramente hablarán del aumento diario y podrán demostrar que ese aumento se está reduciendo. El número aumenta, pero el aumento en el número disminuye. Eso es interesante. ¿Podrían dibujar un gráfico del aumento?

Por supuesto, también hay otras noticias con titulares similares: «Se modera el aumento de los precios de la vivienda», «No se mantiene el aumento de las ambulancias necesarias en días laborables», «El aumento de los precios al consumo desciende del 2,7 % al 1,8 %», «Se modera el aumento del número de prestaciones por desempleo». Aquí hay dos noticias similares sobre la producción cárnica y el número de incidentes en los que se salta una señal de stop.

La deforestación es un grave problema que pone en peligro la diversidad de especies animales, el clima y el ecosistema a nivel mundial. En 2020, la deforestación volvió a aumentar. La NOS informa de que en 2020 se talaron 42 000 kilómetros cuadrados (el tamaño de los Países Bajos) de bosques primarios. Eso llama la atención. ¿Cuántos árboles cabrían en los Países Bajos si derribáramos todas las casas, carreteras, plazas y escuelas y las sustituyéramos por árboles? ¿Cuántos árboles de bosques primarios se talaron el año pasado?

Ahora bien, el número de árboles que cabrían en 42 000 kilómetros cuadrados depende de la densidad de árboles. Esta no es igual en todas partes. Así lo muestran también las figuras c y d (a continuación) del artículo de Hoang, N.T., y Kanemoto, K. (Mapping the deforestation footprint of nations reveals growing threat to tropical forests. Nat Ecol Evol (2021).) El número de árboles perdidos por habitante es mayor en Suecia, pero la superficie de bosque perdida es mayor en Canadá. Yo solo les daría a los alumnos los dos gráficos y les pediría que explicaran cómo funciona esto exactamente. Se puede establecer una comparación sobre la densidad de los bosques en Suecia y Canadá. Por cierto, ¿hay que conocer el número de habitantes y la superficie del país para ello, o se puede calcular sin conocer esas cifras?

Un gran barco se ha quedado atascado en el canal de Suez. «Para desatascarlo, primero hay que hacer cálculos», dice un director de Boskalis. Esto vuelve a demostrar lo importante que es la matemática. Por cierto, ese tipo de cálculos no es para nosotros. Se trata de la flotabilidad, del peso del petróleo, del peso del agua a bordo, del peso de los contenedores y de la carga que hay en ellos...

Pero las noticias sobre este barco y las fotos que hay en Internet dan motivos suficientes para sorprenderse y hacer cálculos. El barco lleva unos 20 000 contenedores, mide unos 400 metros de eslora y se encuentra a 15 metros de profundidad en el agua. No vemos todos los contenedores, ya que una parte se encuentra en la bodega. ¿Cuántos contenedores hay aproximadamente apilados unos sobre otros? ¿Qué terreno se necesita si se descargan esos contenedores en tierra y se apilan como máximo 3 contenedores uno sobre otro? ¿Qué longitud tiene un tren que transporte todos esos contenedores?

¿Se suma o se multiplica cuando se trata de proporciones y porcentajes?

Algunos periódicos informan de que Estados Unidos ya ha vacunado completamente a 44 millones de personas. En los Países Bajos, 500 000 personas ya han recibido las dos dosis. ¿Dónde va más rápido? En Gran Bretaña se vacunó a unas 900 000 personas en un sábado. En los Países Bajos, por esas fechas, se vacunaba a una media de 29 000 personas al día. En todo este tipo de datos se trata constantemente de la diferencia entre números absolutos y relativos. En otras palabras, las proporciones vuelven a estar a la orden del día. Para ayudar a los lectores a hacerse una idea más rápida, muchos periódicos publican las cifras del coronavirus como tantos contagios por cada cien mil habitantes. Por suerte para nosotros, eso no siempre es así y hay suficientes artículos que dan pie a trabajar con proporciones.

Tine Degrande (una investigadora de Bélgica) se preguntó por qué los alumnos, ante problemas de proporciones, a veces suman y otras multiplican. Demostró que los alumnos tienen una preferencia personal por una u otra operación. Entre otros, les planteó el siguiente problema: ¿Qué puede ir en lugar del signo de interrogación?:

Algunos alumnos escribieron 8 (6+2), otros escribieron 12 (2 x 6). En este caso, ambas respuestas tienen su explicación. Sin embargo, esta preferencia por sumar o multiplicar también se repetía en preguntas en las que solo una de las operaciones era correcta. Para comprobarlo, Tine planteó a los alumnos preguntas como:

• Dos paquetes de lápices cuestan en total 6 euros. ¿Cuánto cuestan cuatro paquetes de lápices?
• Ellen y Kim dan vueltas en una pista. Corren a la misma velocidad, pero Ellen empezó más tarde. Cuando Ellen haya dado 3 vueltas, Kim habrá dado 6. Cuando Ellen haya dado 12 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado Kim?

En este caso, los alumnos volvieron a mostrar su preferencia por sumar o multiplicar. Esta preferencia por un enfoque aditivo o multiplicativo también se observa en los porcentajes. Tine concluyó que esta preferencia es persistente.

Por lo tanto, debemos abordar este tema constantemente en clase. Ofrezca a los alumnos suficientes situaciones en las que uno u otro enfoque sea adecuado y cree un conflicto con el correspondiente debate entre los alumnos sobre la pregunta «¿por qué aquí se puede sumar y no multiplicar?» o «¿por qué aquí se puede multiplicar y no sumar?».

Hay más posibilidades

Una observación más. El problema «¿Qué puede ir en lugar del signo de interrogación?» no tiene ningún interés desde el punto de vista matemático:

Desde el punto de vista matemático, cualquier número es válido. Podemos decir, por ejemplo, que el punto (2,4) y el punto (6,?) deben estar en una recta. Pongas lo que pongas en el signo de interrogación, siempre hay una recta que pasa por esos dos puntos.

Incluso si ampliamos el problema, desde el punto de vista matemático hay muchas más soluciones posibles. Fíjate en:

Parece que hay que sumar 2 a todas las coordenadas. Eso sin duda da una buena solución; el signo de interrogación es entonces 12. Multiplicar no da, desde luego, una respuesta correcta. Sin embargo, si pensamos, por ejemplo, en una parábola, hay más posibilidades. Por ejemplo, los puntos (2,4), (6,8) y (10,44) se encuentran en la parábola y = x² - 7x + 14. Así que también podría haber puesto 44. Y así, desde el punto de vista matemático, hay infinitas respuestas posibles.

Apple está cada vez más presente en el sector de la salud. Ahora es posible comprobar si tienes problemas de audición con una aplicación de Apple. Probablemente, la mayoría de las personas con problemas de audición querrán probarla. Por lo general, quieren saber cuál es la gravedad del problema.

Recientemente, Apple informó de que 1 de cada 5 participantes tiene problemas de audición en mayor o menor medida. ¿Qué significa esto? ¿Tiene el 20 % de la población mundial problemas de audición?

Siempre es bueno hablar de este tipo de artículos con los niños. La cuestión es siempre la misma: ¿cuál es el total? Esa es siempre una pregunta importante y, a menudo, los niños no le prestan suficiente atención. Es importante con los porcentajes, con las fracciones, con todo. En este caso, está oculto en la palabra «participantes». Las personas que tienen problemas de audición son más propensas a participar en esta prueba que aquellas que no los tienen. Por lo tanto, el grupo no es un buen reflejo de toda la sociedad. Esto también ocurre, por ejemplo, con las pruebas de la COVID-19. Si el 11 % de las personas examinadas da positivo en la prueba de la COVID-19, no se puede concluir que el 11 % de la población dará positivo.

La cuestión de «¿qué es el conjunto?» también aparece en preguntas famosas como:

• Quiero comprar un taladro. Sé que mañana el precio subirá un 10 %. Sin embargo, pasado mañana el precio volverá a bajar un 10 %. ¿Cuándo es mejor comprar el taladro?
• Quiero comprar un taladro. La tienda «El Taladro de Oro» anuncia un descuento del 20 %. «El taladro práctico» vende taladros con un descuento del 50 %. ¿Dónde es mejor que compre el taladro?
• Mi hermana había comprado unos caramelos. Los metió en una lata, contó los caramelos y se comió la mitad. Al día siguiente miré en esa lata y conté los caramelos. Yo también me comí la mitad. ¿Mi hermana y yo nos hemos comido los mismos caramelos?

«¿Qué es el todo?» es un concepto fundamental. Nunca se le puede dedicar suficiente atención en clase. Las preguntas anteriores no son las más adecuadas para abordar este tema en clase. Es mejor buscar problemas más complejos en los que este concepto aparezca constantemente.

NOS Teletekst mostró ese mismo día cómo la pregunta «¿qué es el todo?» es importante en un contexto algo más complejo. El ministro De Jonge afirma que dos tercios del 80 al 85 % de los adultos estarán totalmente protegidos contra la COVID-19 en julio. El artículo lo describe en varios pasos.

• Entre el 80 % y el 85 % de los adultos quiere vacunarse
• Dos tercios podrán estar totalmente protegidos en julio con dos dosis
• el resto ha recibido una dosis.

¿Qué porcentaje de los neerlandeses estará totalmente protegido en julio? Eso da bastante que pensar. Dos tercios del 80-85 % de los adultos. ¿Cuántos neerlandeses son? ¿O qué porcentaje de los 17 millones de neerlandeses es eso? Para comprender bien esta situación, los alumnos deben darse cuenta de que hay tres conjuntos diferentes en juego: todos los neerlandeses (17 millones), todos los adultos (14 millones), el 80-85 % que quiere vacunarse (entre 11 y 12 millones). ¿Se puede decir entonces que es 2/3 del 80 %? ¿Se puede multiplicar aquí? ¿Por qué exactamente?