Matematika di Tepi Surat Kabar

Belakangan ini, 7 juta umbi bunga telah ditanam di Keukenhof. Di banyak tempat, tiga umbi ditanam berdampingan di tanah. Umbi-umbinya mekar pada waktu yang berbeda, sehingga hamparan bunga selalu penuh dan taman terlihat indah. Umbi bunga yang mekar di musim semi dipanen setelah tumbuh (sekitar Juni), dikeringkan, dan disimpan. Pada bulan Oktober atau November, umbi-umbian tersebut ditanam kembali. Jika Anda ingin menyimpan 7 juta umbi, ruang apa yang Anda butuhkan: sebuah kotak, sebuah ruang kelas, gedung sekolah, atau gudang seluas lapangan sepak bola?

Menumpuk kotak-kotak lebih mudah daripada menumpuk umbi. Sebagian siswa kemungkinan akan mulai menumpuk kotak-kotak kecil. Mereka harus memikirkan apa yang terjadi jika Anda memperbesar jumlah kotak dalam panjang, lebar, dan tinggi; katakanlah Anda menumpuk sepuluh kali lipat jumlah kotak dalam panjang, lebar, dan tinggi. Jumlah kotak tersebut akan menjadi 1.000 kali lebih besar.

Tujuh ruang berukuran 100 x 100 x 100 bola sudah berjumlah 7 juta bola bunga. Jika diameter rata-rata bola adalah 5 cm, maka Anda membutuhkan 7 ruang berukuran 5 x 5 x 5 meter. Sebuah ruang kelas biasanya berukuran 7 x 7 meter dan katakanlah tinggi 2,5 meter. Itu kira-kira sama dengan volume ruang berukuran 5 x 5 x 5 meter. Jadi, 7 ruang kelas yang penuh sudah cukup. Namun, Anda harus mengisi setiap ruang kelas hingga penuh.

Kelompok siswa lain mungkin akan melakukannya dengan cara berbeda. Mungkin mereka melihat kotak berisi 10 atau 100 bola di pusat kebun dan akan mulai bekerja dengan itu. Itu bukan masalah. Mereka juga akan menentukan jumlah kotak di dalam ruang kelas atau menghitung seberapa besar ruang yang dibutuhkan untuk menyimpan sejumlah besar kotak tersebut.

Saat panen, umbi sering disortir (dibedakan berdasarkan ukuran). Apa yang terjadi jika ukuran umbi berlipat ganda? Pertanyaan tentang perbesaran ini akan muncul kembali bagi semua siswa. Apakah Anda sekarang membutuhkan dua kali lipat jumlah ruangan, atau apakah Anda membutuhkan jauh lebih banyak ruangan? Berapa tepatnya? Dengan faktor perbesaran 2, volume akan bertambah dengan faktor 8 (2^³). Jangan langsung memberi tahu, tetapi berikan waktu yang cukup kepada siswa untuk menemukannya sendiri.

Pertanyaan tentang perbesaran juga muncul saat menggunakan mesin fotokopi. Saya ingin memperbesar kertas A4 menjadi A3, pengaturan apa yang harus saya lakukan? Atau jika saya ingin memperkecil kertas A3 menjadi A4. Dari mana tepatnya angka-angka tersebut berasal?

Tentu saja ada banyak objek berbentuk bulat lainnya yang disortir berdasarkan ukurannya. Contohnya bawang dan kentang, tetapi tiram juga disortir dan diberi nama berdasarkan ukurannya.

Webkwestie telah mengembangkan tugas tentang umbi bunga. Di bawah ini, siswa mempelajari bagaimana struktur umbi, cara menanam umbi, dan cara merawat umbi bunga.

Tanggul di sekitar reservoir air limbah hampir jebol. Mereka berusaha mengosongkan reservoir tepat waktu dengan pompa. Dalam beritanya, NOS melaporkan bahwa reservoir tersebut berisi lebih dari 2 miliar liter air. Mereka memompa ribuan liter air per menit dan membutuhkan 10 hingga 12 hari untuk mengosongkan reservoir.

Memindahkan dua miliar liter air dalam 10 hari. Berapa liter yang harus dipompa per menit?

Dengan sejumlah pompa, Anda dapat memindahkan banyak air dengan cepat. Pompa kecil saja sudah dapat memindahkan 60.000 liter per jam; pompa yang lebih besar dapat memindahkan 3.000 m^³ atau lebih per jam. Berapa banyak pompa yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan ini dalam 10 hari?

The New York Times memberikan informasi lebih lanjut. Reservoir tersebut berisi sekitar 400 juta galon air limbah. Antara 2 hingga 3 juta galon air bocor dari reservoir setiap hari. Pada 26 Maret, reservoir tersebut berisi 480 juta liter, dan pada 3 April berisi 390 juta liter. Saat ini, 22.000 galon dipompa setiap menit.

Apakah angka-angka yang dimuat NOS dalam beritanya benar?

Masalah ini memerlukan perhitungan yang cermat. Tentu saja Anda bisa melakukannya dengan kalkulator, tetapi juga dengan perhitungan perkiraan. Jika Anda akan memperkirakan, maka Anda harus memilih angka-angka dengan tepat. Satu hari adalah 24 jam, tetapi perhitungannya lebih mudah jika menggunakan 25 jam. Satu hari adalah 24 × 60 menit; tetapi perhitungannya lebih mudah jika Anda memperkirakan jumlah menit dalam satu hari dengan 25 × 60 menit, yaitu sekitar 1.500 menit.

Dengan perhitungan perkiraan, masalah ini mirip dengan pertanyaan siapa dalam gambar di bawah ini yang berusia satu miliar detik.

Ulang tahun selalu menyenangkan; tetapi Anda dapat merayakan ulang tahun istimewa dan durasi istimewa di kelas. Kami sangat mendukung "Hari 1 Meter"? Biarkan siswa mencatat kapan mereka mencapai tinggi 1 meter? Hari itu sulit diprediksi. Namun, perayaan 500 atau 1.000 minggu, perayaan 3.000 hari, atau perayaan 1 miliar detik dapat ditentukan dengan tepat. Ajak siswa membuat daftar hari-hari istimewa dalam hidup mereka sendiri dan bersama-sama membuat daftar kelas. Dengan begitu, mereka dapat saling memeriksa perhitungan satu sama lain. Pesta 1.000 minggu para siswa tidak boleh terlalu jauh jaraknya, dan perbedaan usia (tanggal lahir) menunjukkan perbedaan waktu di mana pesta 1.000 minggu dapat dirayakan. Bisakah mereka merencanakan pesta yang indah untuk anggota keluarga?

"Polisi ingin 35 persen petugas dengan latar belakang migrasi dalam lima tahun ke depan," lapor berbagai media. Artikel NOS News juga menyebutkan bahwa dalam lima tahun ke depan, setidaknya 17.000 dari 63.000 petugas akan pensiun. Apakah polisi benar-benar bisa mencapai target 35% ini dalam lima tahun? Ini adalah pertanyaan menarik untuk dipikirkan oleh anak-anak.

Ada beberapa cara untuk melihat hal ini. Tiga puluh lima persen dari 63.000 adalah sedikit lebih dari 22.000. Itu berarti hal tersebut hanya mungkin jika saat ini sudah ada 5.000 petugas kepolisian dengan latar belakang non-Barat yang bekerja di kepolisian dan semua petugas baru yang direkrut (17.000) memiliki latar belakang non-Barat. Jika 50% dari rekrutan baru memiliki latar belakang non-Barat (8.500 petugas), maka saat ini setidaknya harus ada 13.500 petugas yang memiliki latar belakang non-Barat (dan tidak keluar). Jadi, ini sebagian bergantung pada membuat beberapa asumsi yang realistis. Karena kita tidak tahu persis siapa yang akan keluar dan siapa yang akan direkrut. Siswa mungkin juga bertanya-tanya berapa banyak petugas dengan latar belakang non-Barat yang sudah bertugas saat ini. Menanyakan pertanyaan yang baik dan menjelaskan asumsi Anda sangat penting.

Jawaban atas pertanyaan terakhir itu mungkin dapat mereka temukan di internet. Pada 12 Juni 2020, De Volkskrant melaporkan bahwa 7 persen memiliki latar belakang non-Barat: "Dari seluruh anggota kepolisian – mulai dari petugas kebersihan hingga kepala kepolisian – 7 persen memiliki latar belakang migrasi non-Barat, yang dimaksudkan adalah orang-orang ‘dengan latar belakang migrasi dari salah satu negara di Afrika, Amerika Latin, dan Asia (kecuali Indonesia dan Jepang) atau Turki’." Mari kita asumsikan bahwa angka-angka dari De Volkskrant tersebut akurat.

7% dari 63.000 petugas adalah 4.410 petugas. Jika semua petugas baru yang direkrut memiliki latar belakang non-Barat, maka totalnya ada 21.410, atau hampir 34%, petugas dengan latar belakang non-Barat.

Itu tidak akan pernah berhasil. Menurut saya, mustahil untuk merekrut hanya petugas dengan latar belakang non-Barat dalam lima tahun ke depan. Pertama, pertanyaannya adalah apakah ada begitu banyak calon, tetapi juga diskriminasi yang begitu ketat dalam proses seleksi kemungkinan besar akan menimbulkan penolakan besar. Jika mereka ingin mencapai 35%, mereka harus meningkatkan jumlah petugas secara drastis.

Di sini juga bisa dihitung. Untuk menaikkan persentase dari 7% menjadi 35%, setidaknya harus merekrut lebih dari 35% petugas dengan latar belakang non-Barat. Apakah para siswa akan membuat perhitungan ini dan menjelaskannya satu sama lain? Katakanlah 50% dari semua petugas baru memiliki latar belakang non-Barat. Seberapa besar polisi harus menjadi untuk mencapai 35% itu?

Jika Anda menghitungnya, Anda akan melihat bahwa jumlah anggota kepolisian harus hampir dua kali lipat untuk mencapai persentase 35% tersebut. Ternyata ini adalah pernyataan yang menarik namun tidak realistis.

Berikan siswa hanya data-data tersebut dan tanyakan apakah kepolisian akan berhasil mencapai target tersebut. Biarkan siswa menentukan sendiri cara mereka menganalisisnya dan bagaimana mereka akan meyakinkan teman sekelas mereka.

Berita NOS memuat judul: "7.684 kasus baru, kenaikan sedikit melambat". Apa maksudnya? Apakah jumlah kasus kini meningkat atau menurun? Judul semacam ini sering digunakan di koran. Sebenarnya, koran-koran itu menulis tentang turunan pertama, tetapi kebanyakan pembaca sama sekali tidak memahaminya. Minta siswa membuat grafik yang mungkin sesuai dengan berita tersebut dan biarkan mereka menjelaskan mengapa grafik itu menggambarkan apa yang dikatakan koran? Biarkan mereka juga menjelaskan apa yang sekarang meningkat dan apa yang menurun. Di suatu titik dalam percakapan itu, para siswa pasti akan membicarakan kenaikan per hari dan dapat menunjukkan bahwa kenaikan tersebut semakin kecil. Jumlahnya meningkat, tetapi kenaikan jumlahnya menurun. Itu menarik. Bisakah mereka menggambar grafik kenaikan tersebut?

Tentu saja ada juga berita lain dengan judul serupa: Kenaikan harga rumah melambat, Kenaikan kebutuhan ambulans melambat, Kenaikan harga konsumen turun dari 2,7 menjadi 1,8 persen, Kenaikan jumlah tunjangan pengangguran melambat. Berikut dua berita serupa tentang produksi daging dan jumlah insiden menabrak lampu merah.

Deforestasi adalah masalah serius yang mengancam keanekaragaman hayati, iklim, dan ekosistem di seluruh dunia. Pada tahun 2020, deforestasi kembali meningkat. NOS melaporkan bahwa pada tahun 2020, hutan primer seluas 42.000 kilometer persegi (sebesar Belanda) telah ditebang. Itu cukup mengesankan. Berapa banyak pohon yang akan muat di Belanda jika kita meratakan semua rumah, jalan, alun-alun, dan sekolah, lalu menggantinya dengan pohon? Berapa banyak pohon di hutan primer yang ditebang tahun lalu?

Jumlah pohon yang dapat muat di area seluas 42.000 kilometer persegi bergantung pada kepadatan pohon. Kepadatan ini tidak sama di setiap tempat. Hal ini juga terlihat dari Gambar c dan d (di bawah) dalam artikel oleh Hoang, N.T., dan Kanemoto, K. (Mapping the deforestation footprint of nations reveals growing threat to tropical forests. Nat Ecol Evol (2021).) Jumlah pohon yang hilang per kapita paling tinggi di Swedia, tetapi jumlah meter persegi hutan yang hilang paling tinggi di Kanada. Saya hanya akan memberikan dua grafik tersebut kepada siswa dan meminta mereka untuk menjelaskan bagaimana tepatnya hal ini terjadi. Memang bisa dibuat perbandingan mengenai kepadatan hutan di Swedia dan Kanada. Apakah perlu mengetahui jumlah penduduk dan luas negara tersebut, atau apakah perhitungan itu bisa dilakukan tanpa mengetahui angka-angka tersebut?

Sebuah kapal besar terjebak di Terusan Suez. "Untuk membebaskannya, Anda harus menghitung terlebih dahulu," kata seorang direktur Boskalis. Hal itu sekali lagi menunjukkan betapa pentingnya matematika. Bagi kita, perhitungan semacam itu sebenarnya di luar jangkauan. Ini berkaitan dengan daya apung, berat minyak, berat air di kapal, berat kontainer, dan muatan di dalam kontainer...

Namun, berita tentang kapal ini dan foto-foto yang beredar online memberikan cukup alasan untuk heran dan menghitung. Kapal tersebut memuat sekitar 20.000 kontainer, panjangnya sekitar 400 meter, dan tenggelam 15 meter di dalam air. Kita tidak melihat semua kontainer, karena sebagian berada di ruang kargo. Berapa banyak kontainer yang kira-kira ditumpuk satu di atas yang lain? Lahan seperti apa yang dibutuhkan jika kontainer-kontainer tersebut dibawa ke darat dan ditumpuk maksimal 3 kontainer satu di atas yang lain? Seberapa panjang kereta api yang mengangkut semua kontainer tersebut?

Apakah Anda menjumlahkan atau mengalikan dalam perbandingan dan persentase?

Beberapa surat kabar melaporkan bahwa Amerika Serikat telah memvaksinasi 44 juta orang secara lengkap. Di Belanda, 500.000 orang telah menerima dua dosis. Di mana prosesnya lebih cepat? Di Inggris Raya, sekitar 900.000 orang divaksinasi pada hari Sabtu. Di Belanda, rata-rata 29.000 orang divaksinasi per hari pada waktu yang sama. Dalam semua data semacam ini, perbedaan antara angka absolut dan relatif selalu menjadi fokus. Dengan kata lain, perbandingan kembali membanjiri kita. Untuk membantu pembaca mendapatkan gambaran lebih cepat, banyak surat kabar mempublikasikan angka-angka corona sebagai jumlah kasus per seratus ribu penduduk. Untungnya bagi kita, hal itu tidak selalu terjadi, dan ada cukup banyak artikel yang memberikan alasan untuk berlatih menghitung perbandingan.

Tine Degrande (seorang peneliti dari Belgia) bertanya-tanya mengapa siswa kadang-kadang menjumlahkan dan kadang-kadang mengalikan saat menghadapi soal perbandingan. Ia menunjukkan bahwa siswa memiliki preferensi pribadi terhadap salah satu dari kedua operasi tersebut. Ia memberikan soal berikut kepada siswa: Apa yang dapat mengisi tanda tanya ini?:

Beberapa siswa mengisi 8 (6+2), yang lain mengisi 12 (2 x 6). Dalam kasus ini, kedua jawaban tersebut dapat dijelaskan. Namun, preferensi untuk menjumlahkan atau mengalikan ini juga muncul pada soal-soal di mana hanya salah satu dari operasi tersebut yang benar. Untuk memastikannya, Tine memberikan soal-soal kepada siswa seperti:

• 2 bungkus pensil harganya total 6 euro. Berapa harga 4 bungkus pensil?
• Ellen dan Kim berlari mengelilingi lintasan. Mereka berlari dengan kecepatan yang sama, tetapi Ellen mulai lebih lambat. Ketika Ellen telah berlari 3 putaran, Kim telah berlari 6 putaran. Ketika Ellen telah berlari 12 putaran, berapa banyak putaran yang telah dilalui Kim?

Dalam hal ini, para siswa kembali menunjukkan preferensi mereka terhadap penjumlahan atau perkalian. Preferensi terhadap pendekatan aditif atau multiplikatif ini juga terlihat pada soal-soal persentase. Tine menyimpulkan bahwa preferensi ini sangat kuat.

Oleh karena itu, kita harus terus-menerus membahas hal ini di kelas. Berikan siswa situasi yang cukup di mana salah satu pendekatan tersebut tepat, dan ciptakan konflik disertai diskusi di antara siswa mengenai pertanyaan "mengapa di sini bisa menggunakan penjumlahan tetapi tidak perkalian?" atau "mengapa di sini bisa menggunakan perkalian tetapi tidak penjumlahan?"

Ada lebih banyak kemungkinan

Satu catatan lagi. Masalah "Apa yang bisa menggantikan tanda tanya?" secara matematis sama sekali tidak menarik:

Dari sudut pandang matematika, setiap angka bisa digunakan. Kita bisa, misalnya, mengatakan bahwa titik (2,4) dan titik (6,?) harus berada pada satu garis lurus. Apa pun yang Anda masukkan untuk tanda tanya, selalu ada garis lurus yang melewati kedua titik tersebut.

Bahkan jika kita memperluas soal ini, secara matematis ada banyak solusi lain yang mungkin. Lihatlah:

Sepertinya kita harus menambahkan 2 ke semua angka. Itu pasti menghasilkan jawaban yang benar; tanda tanya-nya adalah 12. Perkalian pasti tidak memberikan jawaban yang benar. Namun, jika kita misalnya juga memikirkan parabola, maka ada kemungkinan lain. Misalnya, titik (2,4), (6,8), dan (10,44) terletak pada parabola y = x² - 7x + 14. Jadi, saya juga bisa mengisi 44. Dan demikianlah — secara matematis — ada jawaban tak terhingga yang mungkin.

Apple semakin aktif di sektor kesehatan. Kini, Anda dapat menggunakan aplikasi Apple untuk memeriksa apakah Anda mengalami masalah pendengaran. Sebagian besar orang dengan masalah pendengaran kemungkinan besar ingin mencobanya. Mereka biasanya ingin tahu seberapa parah masalahnya.

Baru-baru ini Apple melaporkan bahwa 1 dari 5 peserta mengalami masalah pendengaran dalam tingkat tertentu. Apa artinya ini? Apakah 20% populasi dunia mengalami masalah pendengaran?

Selalu baik untuk mendiskusikan artikel semacam ini dengan anak-anak. Intinya selalu pada pertanyaan: apa keseluruhan situasinya? Itu selalu pertanyaan penting dan seringkali anak-anak tidak cukup memperhatikan hal ini. Hal ini penting dalam persentase, pecahan, dan segala hal. Dalam kasus ini, hal tersebut tersembunyi dalam kata "peserta". Orang yang mengalami masalah pendengaran cenderung lebih sering mengikuti tes ini daripada orang yang tidak mengalami masalah pendengaran. Kelompok ini jadi bukan cerminan yang baik dari seluruh masyarakat. Hal ini juga terjadi pada, misalnya, tes Covid-19. Jika 11% dari orang yang dites positif Covid-19, maka Anda tidak boleh menyimpulkan bahwa 11% dari populasi akan dites positif.

Pertanyaan "apa itu keseluruhan" juga muncul dalam pertanyaan-pertanyaan terkenal seperti:

• Saya ingin membeli bor. Saya tahu besok harganya akan naik 10%. Namun, lusa harganya akan turun lagi 10%. Kapan waktu terbaik untuk membeli bor tersebut?
• Saya ingin membeli bor. Toko "De Gouden Boor" mengiklankan diskon 20%. "De handige boorder" menjual bor dengan diskon 50%. Di mana sebaiknya saya membeli bor tersebut?
• Kakak saya membeli beberapa permen. Dia memasukkannya ke dalam toples, menghitung jumlah permennya, dan memakan setengahnya. Keesokan harinya saya melihat ke dalam toples itu dan menghitung jumlah permennya. Saya juga memakan setengahnya. Apakah kakak saya dan saya memakan jumlah permen yang sama?

"Apa itu keseluruhan" adalah konsep yang penting. Kita tidak pernah bisa cukup menekankan hal ini di kelas. Pertanyaan di atas bukanlah pertanyaan terbaik untuk membahas hal ini di kelas. Lebih baik mencari masalah yang lebih besar di mana konsep ini selalu muncul.

NOS Teletekst menunjukkan pada hari yang sama betapa pentingnya pertanyaan "apa itu keseluruhan?" dalam konteks yang lebih kompleks. Menteri de Jonge mengatakan bahwa 2/3 bagian dari 80 hingga 85 persen orang dewasa akan sepenuhnya terlindungi dari Covid-19 pada bulan Juli. Artikel tersebut menjelaskannya dalam beberapa langkah.

• 80 hingga 85 persen orang dewasa ingin divaksinasi
• 2/3 bagian dapat sepenuhnya terlindungi pada bulan Juli dengan dua dosis
• sisanya telah menerima satu dosis.

Berapa persen penduduk Belanda yang sepenuhnya terlindungi pada bulan Juli? Hal ini memerlukan pemikiran yang cukup mendalam. Dua pertiga dari 80-85 persen orang dewasa. Berapa banyak orang Belanda itu? Atau berapa persen dari 17 juta penduduk Belanda itu? Untuk memahami situasi ini dengan baik, siswa harus menyadari bahwa ada tiga kelompok yang berbeda yang terlibat: seluruh penduduk Belanda (17 juta), seluruh orang dewasa (14 juta), 80-85 persen yang ingin divaksinasi (antara 11 dan 12 juta). Apakah boleh dikatakan bahwa itu adalah 2/3 dari 80 persen? Apakah boleh melakukan perkalian di sini? Mengapa tepatnya?