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Propagación de un virus

A continuación describimos algunas ideas para abordar el covid-19 en la clase de matemáticas. Nos limitamos a unos cuantos juegos sencillos para tratar conceptos básicos.

Enseñar con un applet sobre la propagación de un virus

La NCTM —una asociación estadounidense de profesores de matemáticas— tiene una applet muy interesante que muestra la velocidad de propagación de un virus. La applet está en inglés, pero puede ayudarte en clase a hablar con los alumnos sobre la propagación de un virus. Echa un vistazo a la applet de la NCTM sobre la propagación de un virus. Allí no solo encontrarás el applet, sino también una explicación de cómo funciona, una explicación sobre las matemáticas y una serie de actividades para diferentes edades.

Algunos juegos para la clase

Una applet de este tipo no siempre resulta clara. No se percibe de forma tangible cómo funciona exactamente la propagación. Varios juegos pueden ayudar mejor a explorar el significado del valor R (que indica a cuántas personas ha contagiado de media una persona infectada al cabo de unos días). Con este tipo de juegos, los alumnos también pueden investigar cuál es exactamente el efecto del «distanciamiento social». No solo es importante el valor R. Ahora también se hace hincapié en el valor K. El Nemo explica qué es exactamente el valor K.

Los juegos que se describen aquí ayudan a los alumnos a ver cómo vamos construyendo poco a poco un modelo mejor para la propagación de un virus.

El pilla-pilla

Casi todos los niños han jugado alguna vez al pilla-pilla. En realidad, el pilla-pilla es un caso especial de propagación de virus. Le pasas el turno (el virus) a otra persona y te libras de él (te curas). En este modelo, es cierto que puedes volver a ser pillado (volver a contagiarte). Con un virus real, esperamos que la mayoría de las personas no vuelvan a contagiarse. Este juego no tiene fin. Se puede introducir una variante: si has tocado a alguien, puedes sentarte un rato al margen. Poco a poco, el grupo de niños que juegan (aún no contagiados) se va reduciendo cada vez más. En esta variante del juego del pilla-pilla, puedes comentar con los niños, entre otras cosas, cuántas rondas se necesitan hasta que todos hayan tenido su turno.

El pilla-pilla es un juego con un valor R de 1: una persona infectada contagia a otra persona. No es un modelo muy adecuado para la propagación de un virus. Los alumnos seguramente podrán explicar por qué esto no se parece a la propagación de un virus. Una persona enferma contagia a más gente, no te curas tan rápido, a veces vuelves a enfermarte, la gente puede vivir en grupos más pequeños... Otros juegos ayudan a desarrollar un modelo mejor.

El juego de «sentarse-levantarse»

Nuevas reglas del juego

Al cambiar las reglas del juego, podemos observar otros valores de R. Esto ya ocurre con el juego «sentarse-levantarse». Las reglas de este juego son:

1. Al empezar, todo el mundo está sentado
2. Tú le pides a un alumno que se levante
3. A continuación, ese alumno pide a otros dos alumnos que se levanten
4. Esos alumnos piden cada uno a otros dos alumnos que se levanten
5. Etc.

De repente, todo va mucho más rápido. Después de haber jugado a esto una o varias veces, puedes hacer algunas preguntas, por ejemplo:

• ¿Después de cuántas rondas se han levantado todos?
• ¿Por qué es mucho más rápido que el pilla-pilla?
• ¿Cuántas rondas serán necesarias para contagiar a toda la escuela (es decir, para que todos se pongan de pie)?
• ¿Después de cuántas rondas estará contagiada toda la ciudad o el pueblo?
• ¿Qué cambia si no señalamos a 2 personas, sino que señalamos siempre a 3?

Deja que la clase juegue a esta variante varias veces.

Representar la propagación en la pizarra

Puedes plantearte dibujar en la pizarra, junto con los alumnos, una de las rondas. Este árbol da una idea de cómo puede ser esa representación.

Un valor R de 2 y crecimiento exponencial

El valor R de este juego es 2. Una persona infectada contagia siempre a otras dos personas. El crecimiento es exponencial. Con este juego, los alumnos pueden ver lo rápido que ocurre esto. Toda la escuela o toda la ciudad se infecta mucho más rápido de lo que la mayoría de los alumnos esperan. Es importante que se den cuenta de que un crecimiento exponencial es tan abrumador.

Los alumnos pueden debatir entre ellos, en grupos, cuántas personas se contagian en las rondas 5, 6, 7... y cuántos contagiados hay en total después de cada nueva ronda. ¿Veis la regularidad en el número de nuevos contagios (potencias de 2) y en el número total de contagiados (potencias de 2 menos 1)? Es interesante que, a continuación, los alumnos reflexionen en grupos sobre cómo se vería un árbol si cada vez señalaran a 3 personas.

El juego con fichas bicolores

Este juego y los siguientes también se pueden jugar en grupos. Los alumnos necesitarán entonces un gran número de fichas bicolores. Explícales que las fichas son azules por un lado y amarillas por el otro. La regla del juego es que empiecen con todas las caras amarillas hacia arriba. A continuación, dan la vuelta a una ficha, y en cada ronda dan la vuelta a otras dos fichas, etc. Al principio esto resulta confuso para los alumnos, por lo que probablemente sea aconsejable jugar primero con toda la clase como un juego de «sentarse-levantarse» y solo después en grupos con las fichas.

El juego de «sentarse-levantarse» con azar

En realidad, no todo contacto conduce a la propagación de un virus. Podemos incorporar esto al juego. Para ello, modificamos un poco las reglas. Hacemos que el número de personas a las que se puede contagiar dependa del lanzamiento de una moneda o un dado.

Al lanzar una moneda

La regla del juego es ahora: «No siempre se señala a otros dos alumnos, sino que primero se lanza una moneda. Si sale cara, se señala a otro alumno para que se levante. Si sale cruz, se señala a otros dos alumnos para que se levanten, etc.».

Deja que los alumnos comenten primero en pequeños grupos qué creen que va a pasar ahora. Mientras vas de un grupo a otro y escuchas, puedes pensar en las siguientes preguntas:

• ¿Después de cuántas rondas crees que todo el mundo estará de pie en la clase?
• ¿Es esto más rápido que el juego del pilla-pilla? ¿Por qué sí/por qué no?
• ¿Es más rápido que el juego de «levántate»? ¿Por qué sí/por qué no?

Deja que la clase juegue a esta variante varias veces. Puedes plantearte dibujar un árbol en una de las vueltas.

En el juego también podemos calcular el valor R. Este tiene que ver con la probabilidad de contagiar a alguien. En la mitad de los casos contagias a 1 persona, en la otra mitad contagias a 2 personas.

Con un dado

Esta vez, un alumno tira un dado. Si el valor del dado es 1, 2 o 3, el alumno no contagia a nadie. Si el valor es 4 o 5, el alumno contagia a otro alumno. Si el valor es 6, el alumno contagia a 3 alumnos.

Deja que los alumnos jueguen un par de veces. Lo que llama la atención es que, esta vez, la infección siempre se extingue. A veces muy rápido, con un solo lanzamiento se acaba. A veces dura un poco más, pero es probable que nunca se infecte toda la clase. Espera a que los alumnos se den cuenta de esto. Ese es un buen momento para preguntarles cuál es la diferencia entre los últimos tres juegos.

En estas partidas simulamos diferentes valores de R. Con algunos conocimientos sobre probabilidades, se puede calcular este valor de R.

Ojos en el dado	1	2	3	4	5	6
Número de personas infectadas	0	0	0	1	1	3

Si el número de contagios se determina según esta tabla, el valor R es 0×⅙ + 0×⅙ + 0×⅙ + 1×⅙ + 1×⅙ + 3×⅙, es decir, ⅚. Esto significa que, en la mayoría de las simulaciones, el número de contagios se extinguirá. En clase verás que en algunos grupos los contagios se extinguen rápidamente, mientras que en otros puede llevar algo más de tiempo.

A continuación, comenta con los alumnos qué valores se pueden cambiar para que el número de contagios siga aumentando. Por ejemplo, para crear un valor R de 1⅓, podemos cambiar la tabla a:

Ojos en el dado	1	2	3	4	5	6
Número de personas infectadas	0	0	0	1	1	6

El valor R es ahora, de hecho, 0×⅙ + 0×⅙ + 0×⅙ + 1×⅙ + 1×⅙ + 6×⅙. Si los niños juegan a la simulación con esta tabla, en algunos grupos el contagio se extinguirá, mientras que en otros grupos aumentará rápidamente.

El juego de sentarse y levantarse con distanciamiento social

La idea del distanciamiento social es que tengamos menos contactos y, por lo tanto, si estamos infectados, contagiaremos a menos personas. Por eso, en algunos deportes se organizan «burbujas» pequeñas en las que se acuerda que solo se tendrá contacto con las personas de la burbuja. Vamos a simular esto en clase. Vamos a cambiar las reglas del juego una vez más. Cuando te toque señalar a otros, primero lanzarás una moneda. Si sale cara, eliges a otro alumno de tu grupo para que se levante. Si sale cruz, eliges a otros dos alumnos de tu grupo para que se levanten, etc.

Deja que los alumnos comenten primero en pequeños grupos qué creen que va a pasar ahora. Mientras vas de un grupo a otro y escuchas, puedes pensar en las siguientes preguntas:

• ¿Después de cuántas rondas creéis que todo el mundo estará de pie en la clase?
• ¿Esto es más rápido que el juego del pilla-pilla? ¿Por qué sí/por qué no?
• Si seguimos jugando durante mucho tiempo, ¿llegará un momento en el que todo el mundo esté de pie en la clase? ¿Por qué sí/por qué no?

Deja que la clase juegue a esta variante varias veces.

Carteles sobre la COVID-19 realizados por los alumnos

El IDM 2021 también ha dado lugar a algunos bonitos carteles sobre la COVID y las matemáticas. En su página web también puedes ver otros carteles y leer quiénes son sus autores y qué pensaban al crearlos.